Toán lớp 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng Phương pháp hằng đẳng thức đáng nhớ


7  hằng đẳng thức đáng nhớ :

1)      (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2)      (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

3)      A2 – B2 = (A – B)(A + B)

4)      (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

5)      (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

6)      A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7)      A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

BÀI TẬP SGK :

BÀI 42 TRANG 19 :

CHỨNG MINH RẰNG : 55n+1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

Giải.

55n+1 – 55n  =

= 55.55n – 55n

= (55 – 1) . 55n

= 54. 55n

Vậy : 55n+1 – 55n chia hết cho 54.

BÀI 43 /T20 : Phân tích đa thức thành nhân tử

a. x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3x + 32 = (x + 3)2

b. 10x – 25 –  x2= -(x2 – 2.5.x + 52 )= – (x – 5)2

c.8 x3 – 1/8 = (2x)3 – (1/2)3 = (2x – ½)(4x2 + x + ¼)

d. image

bài 44 (T20) : Phân tích đa thức thành nhân tử

a. x3 + 1/27 = (x)3 + (1/3)3 = (x + 1/3)(x2 – x/3 + 1/9)

b.  (a + b)3 – (a – b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3 = 2b(3a2 + b2)

c. (a + b)3 -.(a – b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

= 2a3+ 6ab2 = 2a(3b2 + a2)

d. x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 +3.(2x)2.y + 3.2.x.y2 + y3 = (2x+ y)3

e. – x3 +9x2 – 27x + 27 = (3)3 – 3.(3)2.x + 3.3.x2 – x3 = (3 – x)3

bài 45 /t20 : tìm x biết

a.2 – 25x2 = 0

image

image

image hoặc image

image hoặc image

b.x2 – x + ¼ = 0

x2 – 2.x.1/2 + (1/2)2 = 0

(x – ½)2 = 0

(x – ½) = 0

x  =  ½

bài 46 /t 21 : tính nhanh

732 – 272 = (73 – 27)( 73 + 27) = 46.100 = 4600

372 – 132 = (37 – 13)( 37 + 13) = 24.50 = 1200

20022 – 22 = (2002 – 2)( 2002 + 2) =2000.2004  = 4008 000

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

–o0o–

1. Công thức :

Lp phương ca mt tng : (CT4)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Bình phương ca mt hiu : (CT5)

(A – B)3 = A3 – 3A2B  + 3AB2 – B3

2. Áp dụng :

Bài 26 / T14 :tính.

a. (2x + 3y)3 = (2x)3 + 3(2x)23y + 3(2x)( 3y)2 + (3y)3

= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

b.

bài 27/t14 :

a.  – x3 + 3x2 – 3x + 1 = -(x3 – 3.x21 + 3.x.12 – 13) = -(x – 1)3

b.  8 – 12x2 + 6x2 – x3 = 23 – 3.22x + 3.2.x2 – x= (2 – x)3

bài 28 /T14 : tính giá tr ca biu thc :

a.  A = x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4+ 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

Khi x = 6 thì : A = (6 + 4)3= 1000

b.   A = x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2+ 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

Khi x = 22 thì : A = (22 – 2)3= 8000

===PHƯƠNG PHÁP HAI LẦN ĐỒNG NHẤT:====

Đồng nhất lần 1 : đồng nhất công thức.

xem nhóm 4 biểu thức có dạng : ( ?1 )3  + ?2 + ?3 + ( ?4 )3

có thể sử dụng công thức cộng (CT 4) hay trừ (CT 5)

Đồng nhất lần 2: đồng nhất biểu thức.

+ chọn biểu thức A và B : ( ?1 : được chọn A )3  + ? + ( ?4  : được chọn B )3

+ Kiểm tra xem : 3.A2 .B = ?2  và 3.A.B2 = ?3  đúng thì công thức dùng được.

========================================================

Lưu ý :

Ta chỉ nháp hoặc nhẩm . khi đúng mới trình bày.

–o0o–

1. Công thức :

Tổng hai lập phương :
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Hiệu hai lập phương :
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

2. Áp dụng :

Bài 30 :rút gn các biu thc :

a.(x +3)(x2 – 3x + 9) –(54 + x3) = (x +3)(x2 – 3.x + 32) – (54 + x3)

= (x3 + 33) – (54 + x3) = x3 + 33 –54 – x3 = -27

b.(2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – (2x).y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + (2x).y + y2]

= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3

BÀI 31 TRANG 16 : CHNG MINH RNG :

a)      a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b)      a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

GIẢI.

Ta có :

(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

(a – b)3 – 3ab(a + b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3

ÁP DNG :

BIẾT a.b = 6 và a+ b = -5

Ta có : a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (-5)3 – 3.6.(-5) = -35

===PHƯƠNG PHÁP HAI LẦN ĐỒNG NHẤT:====

Đồng nhất lần 1 : đồng nhất công thức.
(A + B)(A2 – AB + B2)
Đồng nhất lần 2: đồng nhất biểu thức.
chọn : A và B ta được :
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

=========================================

Tìm ba số có trung bình cộng bằng 567 biết số thứ nhất hơn số thứ hai 18 đơn vị, số thứ hai hơn số thứ ba 36 đơn vị


Tìm ba số có trung bình cộng bằng 567 biết số thứ nhất hơn số thứ hai 18 đơn vị, số thứ hai hơn số thứ ba 36 đơn vị ?

Tổng 3 số là:  567 x 3 =  1701

|—————–| Số thứ ba

|—————–|—-| số thứ hai

|—————–|—-|—-|  số thứ nhất

|—————–|—————–|—-|—————–|—-|—-|  Tổng 3 số

Số thứ ba là:  (1701 – 18 – 36 – 36):3 = 537

Số thứ hai là: 537 + 36 = 573

Số thứ nhất là : 573 + 18 = 591